Kalkulator współczynnika dwumianowego – n po k

Oblicz dokładnie C(n,k) dla nieujemnych liczb całkowitych do 10 000. BigInt zachowuje pełną dokładność bardzo dużych wyników.

What this tool does

Kalkulator wyznacza współczynnik dwumianowy C(n,k), czyli liczbę sposobów wyboru k elementów spośród n bez powtórzeń i bez uwzględniania kolejności.

Obliczenie odbywa się całkowicie w przeglądarce z użyciem dokładnej arytmetyki całkowitej.

How to use the tool

  1. W polu n podaj łączną liczbę dostępnych elementów.
  2. W polu k podaj liczbę elementów do wybrania.
  3. Dokładny wynik pojawi się automatycznie; jeśli k jest większe od n, wynikiem jest 0.
  4. Skopiuj wynik albo wyczyść pola przed kolejnym obliczeniem.

Useful applications

  • Liczenie nieuporządkowanych wyborów bez powtórzeń.
  • Rozwiązywanie zadań z kombinatoryki i prawdopodobieństwa.
  • Wyznaczanie współczynników w twierdzeniu dwumianowym.
  • Sprawdzanie przykładów matematycznych lub programistycznych.

Notes and limitations

  • Akceptowane są wyłącznie nieujemne liczby całkowite od 0 do 10 000.
  • Wynik może mieć tysiące cyfr; BigInt zachowuje dokładną wartość.
  • C(n,k) liczy kombinacje, więc zmiana kolejności nie tworzy nowego wyboru.
  • Dla wyborów uporządkowanych użyj wzoru na permutacje lub wariacje.

Frequently asked questions

Co oznacza „n po k”?

To liczba sposobów wyboru k elementów spośród n dostępnych bez powtórzeń i bez uwzględniania kolejności.

Dlaczego wynik wynosi 0, gdy k jest większe od n?

Nie można wybrać więcej elementów, niż jest dostępnych, więc nie istnieje żaden poprawny wybór.

Dlaczego C(n,k) = C(n,n-k)?

Wskazanie elementów wybranych jest równoważne wskazaniu elementów pominiętych.

Czy kalkulator obsługuje bardzo duże wyniki?

Tak. Używa BigInt i zwraca dokładną liczbę całkowitą dla danych do 10 000.

Czym różnią się kombinacje od permutacji?

W kombinacjach kolejność nie ma znaczenia, a w permutacjach różne kolejności są różnymi wynikami.

Reference

Wzór, przykład i własności

Wzór z silniami usuwa różne kolejności tego samego wyboru, dzięki czemu każda kombinacja jest liczona tylko raz.

Wzór na współczynnik dwumianowy
C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!)
n
Łączna liczba dostępnych elementów.
k
Liczba wybranych elementów.

Standardowy warunek to 0 ≤ k ≤ n. Poza tym zakresem nie istnieją poprawne wybory.

Wynik jest liczbą nieuporządkowanych wyborów, a nie ich listą.

Pełny przykład: C(5,2) = 10

  1. C(5,2) = 5! / (2! · (5-2)!)
  2. 5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10
  3. Istnieje 10 nieuporządkowanych sposobów wyboru dwóch elementów z pięciu.
  • Symetria: C(n,k) = C(n,n-k).
  • Wartość brzegowa: C(n,0) = 1.
  • Wartość brzegowa: C(n,n) = 1.

Kombinacje i permutacje

Użyj współczynnika dwumianowego, gdy kolejność nie ma znaczenia. Jeśli A-B i B-A są różnymi wynikami, potrzebny jest wzór na permutacje.