Worum es geht

Der Rechner bestimmt den Binomialkoeffizienten C(n,k): die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und nichts wiederholt wird.

Die Berechnung erfolgt vollständig im Browser mit exakter Ganzzahlarithmetik.

So verwendest du das Tool

Gib als n die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente ein.
Gib als k die Anzahl der auszuwählenden Elemente ein.
Das exakte Ergebnis erscheint automatisch; ist k größer als n, lautet das Ergebnis 0.
Kopiere das Ergebnis oder leere die Felder für eine neue Berechnung.

Sinnvolle Anwendungsfälle

Ungeordnete Auswahlen ohne Wiederholung zählen.
Aufgaben aus Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit lösen.
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes bestimmen.
Mathematische oder programmiertechnische Beispiele prüfen.

Hinweise und Grenzen

Zulässig sind nur nichtnegative ganze Zahlen von 0 bis 10.000.
Das Ergebnis kann Tausende Stellen besitzen; BigInt hält es exakt.
C(n,k) zählt Kombinationen, daher erzeugt eine andere Reihenfolge keine neue Auswahl.
Für geordnete Auswahlen ist stattdessen eine Permutationsformel erforderlich.

Häufige Fragen

Was bedeutet „n über k“?

Der Wert gibt an, auf wie viele Arten k Elemente aus n verfügbaren Elementen ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge gewählt werden können.

Warum ist das Ergebnis 0, wenn k größer als n ist?

Es können nicht mehr Elemente ausgewählt werden, als vorhanden sind; deshalb gibt es keine gültige Auswahl.

Warum gilt C(n,k) = C(n,n-k)?

Die Auswahl der enthaltenen Elemente entspricht der Auswahl der Elemente, die weggelassen werden.

Kann der Rechner sehr große Ergebnisse verarbeiten?

Ja. Er nutzt BigInt und liefert für Eingaben bis 10.000 die exakte ganze Zahl.

Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen?

Bei Kombinationen ist die Reihenfolge egal; bei Permutationen zählen verschiedene Reihenfolgen als verschiedene Ergebnisse.

Referenz

Formel, Beispiel und Eigenschaften

Die Fakultätsformel entfernt die verschiedenen Anordnungen derselben Auswahl und zählt dadurch jede Kombination genau einmal.

Formel des Binomialkoeffizienten

C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!)

n: Gesamtzahl der verfügbaren Elemente.
k: Anzahl der ausgewählten Elemente.

Die übliche Bedingung lautet 0 ≤ k ≤ n. Außerhalb dieses Bereichs gibt es keine gültigen Auswahlen.

Das Ergebnis ist die Anzahl ungeordneter Auswahlen, nicht eine Liste der einzelnen Auswahlen.

Vollständiges Beispiel: C(5,2) = 10

C(5,2) = 5! / (2! · (5-2)!)
5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10
Es gibt 10 ungeordnete Möglichkeiten, zwei Elemente aus fünf auszuwählen.

Symmetrie: C(n,k) = C(n,n-k).
Randwert: C(n,0) = 1.
Randwert: C(n,n) = 1.

Kombinationen und Permutationen

Verwende den Binomialkoeffizienten, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Werden A-B und B-A als verschieden gezählt, ist eine Permutationsformel nötig.